Всеки да си намери мястото

[Wattie]

В киното предстояла премиера на много интересен филм. Всичките 101 билета били продадени и вече имало опашка от 101 души пред залата. Първи влезнал Ванката. Само, че вместо да си погледне билета и да види на кое място точно трябва да седне, той седнал на което му падне или по-точно на това, което му харесало най-много. Хулиган!

Това, както може да се досетите би могло да внесе определен смут в последствие. Хората продължили да влизат един по един и да се опитват да сядат по местата, които са им определени. Ако обаче се получело така, че някой вече седи на тяхното място (например в самото начало това може да е Ванката), то вместо да вдигат скандали хората просто сядали на друго свободно място. С което естествено заемали мястото на друг и ... нещата се повтаряли. Културни хора, не са скандалджии и се оправят с проблемите си със смирение.

Последен в залата влезнал Гошо. Каква е вероятността да е свободно мястото, което е написано на билета на Гошо?

[Гриша]

От: Всеки да си намери мястото

100%
Всичките преди него (сто души) са си разменили местата и неговото си е неговото (свободно).
Наградка нещо?!? Ако няма не давам друг-"верен" отговор!

[targa]

От: Всеки да си намери мястото

В киното предстояла премиера на много интересен филм. ?

И твойта не е лесна, като гледам кви работи те вълнуват непрекъснато. Без лоши чувства.

[artefekt]

От: Всеки да си намери мястото

Аз залагам на 50%...

[Wattie]

От: Всеки да си намери мястото

100%
Всичките преди него (сто души) са си разменили местата и неговото си е неговото (свободно).
Наградка нещо?!? Ако няма не давам друг-"верен" отговор!

Не е 100%.

Ако Ванката си седне на точното място от самото начало, то със сигурност неговото ще е свободно, защото всеки ще си сяда на правилното. Но да седне Ванката на правилното място е 1/101... Кофти.

Ако Ванката не е седнал на своето място, а на чуждо, то човекът, който седи на това място рано или късно ще влезне, ще види, че му е заето... и ще трябва да избере друго. Ами ако седне на мястото на Гошо? Става лошо. Ами ако е самия Гошо? Пак лошо.

Аз залагам на 50%...

Добро предположение, но без обяснение не става. И обяснението "или ще е на неговото или няма да е на неговото" не върви

[artefekt]

От: Всеки да си намери мястото

По моята логика дали местата са 101 или 1001 няма значение.
Свежда се до Ванката, Х-последния зрител, който му е заето мястото и Гошко.
Вероятността Х да уцели местото на Ванката вместо това на Гошко е 50%.
Само, че сега се сещам, че има и вероятност Ванката да уцели местото на Гошко.
Съответно ако вероятността за това е 1%, давам окончателен отговор 49% вероятност местото на Гошко да е свободно.

П.П. Всъщност има същата вероятност Ванката да уцели и своето място, каквато е да седне на мястото на Гошко, така че последно 50%.

[Wattie]

От: Всеки да си намери мястото

По моята логика дали местата са 101 или 1001 няма значение.
Свежда се до Ванката, Х-последния зрител, който му е заето мястото и Гошко.
Вероятността Х да уцели местото на Ванката вместо това на Гошко е 50%.
Само, че сега се сещам, че има и вероятност Ванката да уцели местото на Гошко.
Съответно ако вероятността за това е 1%, давам окончателен отговор 49% вероятност местото на Гошко да е свободно.

П.П. Всъщност има същата вероятност Ванката да уцели и своето място, каквато е да седне на мястото на Гошко, така че последно 50%.

Всъщност това, че "дали местата са 101 или 1001 няма значение" е много вярна не логика, а интуиция. Обикновено в такива задачи като се подхвърлят големи числа, то една лампичка трябва да светне, че може да се реши по индукция.

Да започнем. Нека местата не са 101, а са "n" на брой. Да разгледаме първите няколко варианта:

n=2. Ванката влиза и сяда на едно от двете места. Ако седне на вярното, то и Гошо ще седне на вярното. Ако седне на грешното, то и Гошо ще седне на грешното. Шансът е "50:50" или по-точно казано вероятността Гошо да си седне на правилното място е 50%.

n=3. Нека хората са Ванката, Гошо и X. Ясно е, че X влиза втори. Да разгледаме различните комбинации:

а) Ванката е седнал на своето място (вероятност 1/3). Следователно X ще седне на своето място и Гошо ще седне на своето място. Това е добър изход.

б) Ванката е седнал на мястото на Гошо. Това очевидно е лош изход и не го разглеждаме - вероятността за това Гошо да си седне на мястото е 0.

в) Ванката сяда на мястото на X (вероятност 1/3). Влиза X и за него има два варианта - да седне на мястото на Ванката или да седне на мястото на Гошо. Добър изход ще имаме тогава, когато X седне на мястото на Ванката. Тъй като местата са 2, то вероятността за това е 1/2. Значи добрият изход в този случай е произведението на двете вероятности, т.е. (1/3)*(1/2) = 1/6

С това изчерпахме всички възможности. Общата вероятност за добър изход от трите подточки е:

1/3 + 0 + 1/6 = (2+1)/6 = 3/6 = 1/2

=> вероятността Гошо да си седне на мястото е 1/2. Тоест наистина е 50%.

За да се довърши задачата следва най-сложното. Приемаме, че хипотезата е вярна за някое n=k. Трябва да докажем, че е вярна и за n=k+1. Ако успеете да направите това, то тя ще бъде вярна и за n=101

[artefekt]

От: Всеки да си намери мястото

Интуиция друг път...
Няма значение защото всеки следващ влязъл след Ванката ако му е свободно мястото си сяда на него и не играе в задачката, а ако му е заето, сяда на произволно и става временният Х, така до последният влязъл преди Гошко...
Т.е. за вероятността имат значение само тримата.

Между другото, завършил съм СМГ (84г) и харесвам задачи, които могат да се решат и по различен от общоприетият заучен начин...